EM算法實(shí)例

通過實(shí)例可以快速了解EM算法的基本思想，具體推導(dǎo)請點(diǎn)文末鏈接。圖a是讓我們預(yù)熱的，圖b是EM算法的實(shí)例。

這是一個(gè)拋硬幣的例子，H表示正面向上，T表示反面向上，參數(shù)θ表示正面朝上的概率。硬幣有兩個(gè)，A和B，硬幣是有偏的。本次實(shí)驗(yàn)總共做了5組，每組隨機(jī)選一個(gè)硬幣，連續(xù)拋10次。如果知道每次拋的是哪個(gè)硬幣，那么計(jì)算參數(shù)θ就非常簡單了，如

下圖所示：

如果不知道每次拋的是哪個(gè)硬幣呢？那么，我們就需要用EM算法，基本步驟為：

  1、給θ_AθA​和θ_BθB​一個(gè)初始值；

  2、（E-step）估計(jì)每組實(shí)驗(yàn)是硬幣A的概率（本組實(shí)驗(yàn)是硬幣B的概率=1-本組實(shí)驗(yàn)是硬幣A的概率）。分別計(jì)算每組實(shí)驗(yàn)中，選擇A硬幣且正面朝上次數(shù)的期望值，選擇B硬幣且正面朝上次數(shù)的期望值；

  3、（M-step）利用第三步求得的期望值重新計(jì)算θ_AθA​和θ_BθB​；

  4、當(dāng)?shù)揭欢ù螖?shù)，或者算法收斂到一定精度，結(jié)束算法，否則，回到第2步。

計(jì)算過程詳解：初始值θ_A^{(0)}θA(0)​=0.6,θ_B^{(0)}θB(0)​=0.5。

由兩個(gè)硬幣的初始值0.6和0.5，容易得出投擲出5正5反的概率是p_A=C^5_{10}*(0.6^5)*(0.4^5)pA​=C105​∗(0.65)∗(0.45)，p_B=C_{10}^5*(0.5^5)*(0.5^5)pB​=C105​∗(0.55)∗(0.55), p_ApA​/(p_ApA​+p_BpB​)=0.449, 0.45就是0.449近似而來的，表示第一組實(shí)驗(yàn)選擇的硬幣是A的概率為0.45。然后，0.449 * 5H = 2.2H ，0.449 * 5T = 2.2T ，表示第一組實(shí)驗(yàn)選擇A硬幣且正面朝上次數(shù)和反面朝上次數(shù)的期望值都是2.2，其他的值依次類推。最后，求出θ_A^{(1)}θA(1)​=0.71,θ_B^{(1)}θB(1)​=0.58。重復(fù)上述過程，不斷迭代，直到算法收斂到一定精度為止。

這篇博客對EM算法的推導(dǎo)非常詳細(xì)，鏈接如下：

https://blog.csdn.net/zhihua_oba/article/details/73776553

Python實(shí)現(xiàn)

#coding=utf-8from numpy import *from scipy import statsimport timestart = time.perf_counter()def em_single(priors,observations): ''' EM算法的單次迭代 Arguments ------------ priors:[theta_A,theta_B] observation:[m X n matrix] Returns --------------- new_priors:[new_theta_A,new_theta_B] :param priors: :param observations: :return: ''' counts = {’A’: {’H’: 0, ’T’: 0}, ’B’: {’H’: 0, ’T’: 0}} theta_A = priors[0] theta_B = priors[1] #E step for observation in observations: len_observation = len(observation) num_heads = observation.sum() num_tails = len_observation-num_heads #二項(xiàng)分布求解公式 contribution_A = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A) contribution_B = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B) weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B) weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B) #更新在當(dāng)前參數(shù)下A，B硬幣產(chǎn)生的正反面次數(shù) counts[’A’][’H’] += weight_A * num_heads counts[’A’][’T’] += weight_A * num_tails counts[’B’][’H’] += weight_B * num_heads counts[’B’][’T’] += weight_B * num_tails # M step new_theta_A = counts[’A’][’H’] / (counts[’A’][’H’] + counts[’A’][’T’]) new_theta_B = counts[’B’][’H’] / (counts[’B’][’H’] + counts[’B’][’T’]) return [new_theta_A,new_theta_B]def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000): ''' EM算法 ：param observations :觀測數(shù)據(jù) ：param prior：模型初值 ：param tol：迭代結(jié)束閾值 ：param iterations：最大迭代次數(shù) ：return：局部最優(yōu)的模型參數(shù) ''' iteration = 0; while iteration < iterations: new_prior = em_single(prior,observations) delta_change = abs(prior[0]-new_prior[0]) if delta_change < tol: break else: prior = new_prior iteration +=1 return [new_prior,iteration]#硬幣投擲結(jié)果observations = array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1], [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1], [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1], [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0], [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])print (em(observations,[0.6,0.5]))end = time.perf_counter()print(’Running time: %f seconds’%(end-start))

總結(jié)

到此這篇關(guān)于Python實(shí)現(xiàn)EM算法實(shí)例的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python實(shí)現(xiàn)EM算法實(shí)例內(nèi)容請搜索好吧啦網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持好吧啦網(wǎng)！