最短路徑問題（python實(shí)現(xiàn)）

解決最短路徑問題：（如下三種算法）

（1）迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）（2）弗洛伊德算法（Floyd算法）（3）SPFA算法

第一種算法：

Dijkstra算法

廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無(wú)向圖的單源最短路徑問題.是一種貪心的策略

算法的思路

聲明一個(gè)數(shù)組dis來(lái)保存源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離和一個(gè)保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T，初始時(shí)，原點(diǎn)s的路徑權(quán)重被賦為0（dis[s]=0）。若對(duì)于頂點(diǎn)s存在能直接到達(dá)的邊（s,m），則把dis[m]設(shè)為w（s, m）,同時(shí)把所有其他（s不能直接到達(dá)的）頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度設(shè)為無(wú)窮大。初始時(shí)，集合T只有頂點(diǎn)s。

然后，從dis數(shù)組選擇最小值，則該值就是源點(diǎn)s到該值對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的最短路徑，并且把該點(diǎn)加入到T中，OK，此時(shí)完成一個(gè)頂點(diǎn)，再看看新加入的頂點(diǎn)是否可以到達(dá)其他頂點(diǎn)并且看看通過該頂點(diǎn)到達(dá)其他點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度是否比源點(diǎn)直接到達(dá)短，如果是，那么就替換這些頂點(diǎn)在dis中的值，然后，又從dis中找出最小值，重復(fù)上述動(dòng)作，直到T中包含了圖的所有頂點(diǎn)。

第二種算法：

Floyd算法

原理：

Floyd算法（弗洛伊德算法）是一種在有向圖中求最短路徑的算法。它是一種求解有向圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間最短路徑的算法。用在擁有負(fù)權(quán)值的有向圖中求解最短路徑（不過不能包含負(fù)權(quán)回路）

流程：

有向圖中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)X，對(duì)于圖中過的2點(diǎn)A和B，

如果有Dis（AX）+ Dis（XB）< Dis（AB），那么使得Dis（AB）=Dis（AX）+Dis（XB)。

當(dāng)所有的節(jié)點(diǎn)X遍歷完后，AB的最短路徑就求出來(lái)了。

示例一：

#-*- coding:utf-8 -*- #python實(shí)現(xiàn)Floyd算法 N = 4 _=float(’inf’) #無(wú)窮大 graph = [[ 0, 2, 6, 4],[ _, 0, 3, _],[ 7, _, 0, 1],[ 5, _,12, 0]] path = [[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,-1]] #記錄路徑，最后一次經(jīng)過的點(diǎn)def back_path(path,i,j): #遞歸回溯while(-1 != path[i][j]): back_path(path,i,path[i][j]) back_path(path,path[i][j],j) print path[i][j],14 return; return;print 'Graph:n',graphfor k in range(N): for i in range(N): for j in range(N): if graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j]: graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j] path[i][j] = k print 'Shortest distance:n',graph print 'Path:n',path print 'Points pass-by:' for i in range(N): for j in range(N): print '%d -> %d:' % (i,j), back_path(path,i,j) print 'n',

示例二：

#!usr/bin/env python#encoding:utf-8’’’功能：使用floyd算法求最短路徑距離’’’import randomimport timedef random_matrix_genetor(vex_num=10): ’’’ 隨機(jī)圖頂點(diǎn)矩陣生成器 輸入：頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，即矩陣維數(shù) ’’’ data_matrix=[] for i in range(vex_num): one_list=[]for j in range(vex_num): one_list.append(random.randint(1, 100)) data_matrix.append(one_list) return data_matrixdef floyd(data_matrix): ’’’ 輸入：原數(shù)據(jù)矩陣，即：一個(gè)二維數(shù)組 輸出：頂點(diǎn)間距離 ’’’ dist_matrix=[] path_matrix=[] vex_num=len(data_matrix) for h in range(vex_num): one_list=[’N’]*vex_num path_matrix.append(one_list) dist_matrix.append(one_list) for i in range(vex_num):for j in range(vex_num): dist_matrix=data_matrix path_matrix[i][j]=j for k in range(vex_num):for i in range(vex_num): for j in range(vex_num):if dist_matrix[i][k]==’N’ or dist_matrix[k][j]==’N’: temp=’N’else: temp=dist_matrix[i][k]+dist_matrix[k][j]if dist_matrix[i][j]>temp: dist_matrix[i][j]=temp path_matrix[i][j]=path_matrix[i][k] return dist_matrix, path_matrixdef main_test_func(vex_num=10): ’’’ 主測(cè)試函數(shù) ’’’ data_matrix=random_matrix_genetor(vex_num) dist_matrix, path_matrix=floyd(data_matrix) for i in range(vex_num): for j in range(vex_num):print ’頂點(diǎn)’+str(i)+’----->’+’頂點(diǎn)’+str(j)+’最小距離為:’, dist_matrix[i][j]if __name__ == ’__main__’: data_matrix=[[’N’,1,’N’,4],[1,’N’,2,’N’],[’N’,2,’N’,3],[4,’N’,3,’N’]] dist_matrix, path_matrix=floyd(data_matrix) print dist_matrix print path_matrix time_list=[] print ’------------------------------節(jié)點(diǎn)數(shù)為10測(cè)試情況------------------------------------’ start_time0=time.time() main_test_func(10) end_time0=time.time() t1=end_time0-start_time0 time_list.append(t1) print ’節(jié)點(diǎn)數(shù)為10時(shí)耗時(shí)為：’, t1 print ’------------------------------節(jié)點(diǎn)數(shù)為100測(cè)試情況------------------------------------’ start_time1=time.time() main_test_func(100) end_time1=time.time() t2=end_time1-start_time1 time_list.append(t2) print ’節(jié)點(diǎn)數(shù)為100時(shí)耗時(shí)為：’, t2 print ’------------------------------節(jié)點(diǎn)數(shù)為1000測(cè)試情況------------------------------------’ start_time1=time.time() main_test_func(1000) end_time1=time.time() t3=end_time1-start_time1 time_list.append(t3) print ’節(jié)點(diǎn)數(shù)為100時(shí)耗時(shí)為：’, t3 print ’--------------------------------------時(shí)間消耗情況為：--------------------------------’ for one_time in time_list: print one_time

示例三：

import numpy as npMax = 100v_len = 4edge = np.mat([[0,1,Max,4],[Max,0,9,2],[3,5,0,8],[Max,Max,6,0]])A = edge[:]path = np.zeros((v_len,v_len)) def Folyd(): for i in range(v_len):for j in range(v_len): if(edge[i,j] != Max and edge[i,j] != 0):path[i][j] = i print ’init:’ print A,’n’,path for a in range(v_len):for b in range(v_len): for c in range(v_len):if(A[b,a]+A[a,c]<A[b,c]): A[b,c] = A[b,a]+A[a,c] path[b][c] = path[a][c] print ’result:’print A,’n’,path if __name__ == '__main__': Folyd()

第三種算法：

SPFA算法是求解單源最短路徑問題的一種算法，由理查德·貝爾曼（Richard Bellman） 和 萊斯特·福特 創(chuàng)立的。有時(shí)候這種算法也被稱為 Moore-Bellman-Ford 算法，因?yàn)?Edward F. Moore 也為這個(gè)算法的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。它的原理是對(duì)圖進(jìn)行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路徑。

其優(yōu)于迪科斯徹算法的方面是邊的權(quán)值可以為負(fù)數(shù)、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是時(shí)間復(fù)雜度過高，高達(dá) O(VE)。但算法可以進(jìn)行若干種優(yōu)化，提高了效率。

思路：

我們用數(shù)組dis記錄每個(gè)結(jié)點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值，用鄰接表或鄰接矩陣來(lái)存儲(chǔ)圖G。我們采取的方法是動(dòng)態(tài)逼近法：設(shè)立一個(gè)先進(jìn)先出的隊(duì)列用來(lái)保存待優(yōu)化的結(jié)點(diǎn)，優(yōu)化時(shí)每次取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)u，并且用u點(diǎn)當(dāng)前的最短路徑估計(jì)值對(duì)離開u點(diǎn)所指向的結(jié)點(diǎn)v進(jìn)行松弛操作，如果v點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值有所調(diào)整，且v點(diǎn)不在當(dāng)前的隊(duì)列中，就將v點(diǎn)放入隊(duì)尾。這樣不斷從隊(duì)列中取出結(jié)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行松弛操作，直至隊(duì)列空為止。